Ecuaciones de primer y segundo grado

Igualdad

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Cierta

Ejemplo

2x + 2 = 2 · (x + 1) Quitamos paréntesis en el 2º miembro

2x + 2 = 2x + 2 Restamos 2x en los dos miembros

2x − 2x + 2 = 2x − 2x + 2

2 = 2

Falsa:

Ejemplo

2x + 1 = 2 · (x + 1) Quitamos paréntesis en el 2º miembro

2x + 1 = 2x + 2 Restamos 2x en los dos miembros

1≠2.

Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

Ejemplo

2x + 2 = 2 · (x + 1) Quitamos paréntesis en el 2º miembro

2x − 2x + 2 = 2x − 2x + 2 Restamos 2x en los dos miembros

2 = 2

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2 x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2

x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2

−13 = −13

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado

Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x +1

Ecuación de segundo grado.
5x + 3 = 2x² + x

Ecuación de tercer grado.
5x³ + 3 = 2x +x²

Ecuación de cuarto grado.
5x³ + 3 = 2x⁴ +1

Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones polinómicas

1. Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)² = x² - 2

x² + 2x + 1 = x² - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

2. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax² = 0

ax² + b = 0

ax² + bx = 0

3. Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax³ + bx² + cx + d = 0, con a ≠ 0.

4. Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.

ax⁴ + bx² + c = 0, con a ≠ 0.

5. Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a₁xⁿ + a₂x^n-1 + a₃x^n-2 + ...+ a₀ = 0

Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas son de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Ejemplos

 

Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

Ejemplos

1.
2.
3.

Ecuaciones no polinómicas

1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

Ejemplos

1.

2.

3.

2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Ejemplos

1.

2.

3.

3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

Ejemplos

1.

2.

3.

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

2x − 3 = 3x + 2

x = −5

x + 3 = −2

x = −5

Criterios de equivalencia de ecuaciones

1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5

x + 2 = 3

x + 2 −2= 3 −2

x = 1

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax² + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos

1.

2.

3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).